Задание 2.Вариант №3 — реферат

Задание 2.Вариант №3

1.1 Отделить корни уравнения аналитически
Функция определена на всей числовой прямой. Приравняем производную нулю и вычислим корень производной:

составим таблицу знаков функций:

-
0

Знак
+ + +
Знак
- - +
За нижнюю границу можно взять х=0. Верхнюю подберем:
х=2:
Итак, .
1.2 Алгоритм решения задачи методом половинного деления
Пусть задана непрерывная функция f(х) и требуется найти все или некоторые корни уравнения
f(x)=0.
Пусть мы нашли такие точки a и b что f(a)f(b)0, т. е. на отрезке [a,b] лежит не менее одного корня уравнения. Найдем середину отрезка xc=(a+b)/2 и вычислим f(xc). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой f(xc)*f(a или b)0, т.е. отрезок на котором функция меняет знак. Затем новый отрезок опять делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис. 2).


Если требуется найти корень с точностью , то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе недифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т. е. уточнение трех цифр требует 10 итераций (т.к. длина отрезка, на котором лежит корень, после 10 итераций равна 1/210=1/102410-3). Зато точность ответа гарантируется.
Найдем корень уравнения , расположенный на отрезке , методом половинного деления:
а f(a) Xс f(Xс) b f(b)
0 -3 1 -1 2 7
1 -1 1,5 1,875 2 7
1 -1 1,25 0,203125 1,5 1,875
1 -1 1,125 -0,45117 1,25 0,2031
1,125 -0,45117 1,1875 -0,13794 1,25 0,2031
1,1875 -0,1379 1,2188 0,0290 1,25 0,2031
1,1875 -0,1379 1,2031 -0,0553 1,2188 0,0290
1,2031 -0,0553 1,2109 -0,0134 1,2188 0,0290
1,2109 -0,0134 1,2148 0,0078 1,2188 0,0290
1,2109 -0,0134 1,2129 -0,0028 1,2148 0,0078
1,2129 -0,0028 1,2139 0,0025 1,2148 0,0078
1,2129 -0,0028 1,2134 -0,0002 1,2139 0,0025
1,2134 -0,0002 1,2136 0,0011 1,2139 0,0025
1,2134 -0,0002 1,2135 0,0005 1,2136 0,0011
1,2134 -0,0002 1,2134 0,0002 1,2135 0,0005

Ответ: корень уравнения приближенно равен 1,2134.

Комментарии: