Исследование операций нелинейного программирования — реферат

Задача 4. Решение задачи нелинейного программирования.
Определить экстремум целевой функции вида
→ min
при условиях:

1. Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.
2. Составить функцию Лагранжа.
3. Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.
4. Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.
5. Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.
Решение.
1. Определим стационарную точку целевой функции.


Стационарная точка М(88/137; -6/137).
Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции


Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки.
2. Составим функцию Лагранжа.

3. Получим систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.

Получим:
А) В)
Перепишем системы:
А1)
Вводим дополнительные переменные V = {v1, v2} ≥ 0; W = {w1, w2} ≥ 0 превращающие неравенства системы А1 в равенства:
А2)

Перепишем систему Б:
Б2) - условия дополняющей нежесткости
4. Используя метод искусственных переменных составим симплекс-таблицу и найдем решение полученной задачи линейного программирования.
Введем в систему А2 искусственные переменные:

Вводим псевдоцелевую функцию Y = My1 + My2 → min
- базисные переменные: y1, y2, w1, w2
- свободные переменные: x1, x2, v1, v2, u1, u2
Решим задачу.









Cб хб 0 0 0 0 0 0 M M 0 0 B
x1 x2 u1 u2 v1 v2 y1 y2 w1 w2
M y1 2 6,5 3 -4 1 0 1 0 0 0 1
M y2 4 6,5 -1 -2 0 1 0 1 0 0 4
0 w1 -3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 8
0 w2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 1 18
6М 13М 2М -6М М М 0 0 0 0 5М
х2 4/13 1 6/13 -8/13 2/13 0 2/13 0 0 0 2/13
y2 2 0 -4 2 -1 1 -1 1 0 0 3
w1 -32/13 0 -6/13 8/13 -2/13 0 -2/13 0 1 0 102/13
w2 44/13 0 -12/13 16/13 -4/13 0 -4/13 0 0 1 230/13
2M 0 -4M 2M -M M -2M 0 0 0 3M
x2 12/13 1 -10/13 0 -2/13 4/13 4/13 0 0 14/13
u2 1 0 -2 1 -1/2 1/2 1/2 0 0 3/2
w1 -40/13 0 10/13 0 2/13 -4/13 -4/13 1 0 90/13
w2 28/13 0 44/13 0 4/13 -8/13 -8/13 0 1 206/13
0 0 0 0 0 0 -M 0 0 0

Ответ: x1 = 0 , x2 = 14/13, u1 = 0, u2 = 3/2, v1 = 0, v2 = 0, w1 = 90/13, w2 = 206/13.
5. Ответ исходной задачи нелинейного программирования.
Условия дополняющей нежесткости или не выполняются (u2w2≠0), значит, решения исходной задачи квадратичного программирования не существует.
Ответ: не существует.

Комментарии: